$0 \le x \le \pi$ のとき、次の関数の最大値・最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。 (1) $y = \sin x + 1$ (2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、次の関数の最大値・最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

(1) $y = \sin x + 1$

(2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \sin x + 1$

$0 \le x \le \pi$ における $\sin x$ の範囲は $0 \le \sin x \le 1$。

よって、$y$ の範囲は $0+1 \le \sin x + 1 \le 1+1$ より $1 \le y \le 2$。

最大値をとるのは $\sin x = 1$ のときなので、$x = \frac{\pi}{2}$。

最小値をとるのは $\sin x = 0$ のときなので、$x = 0, \pi$。

(2)

$y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1$

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$。

$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ の範囲は $-\frac{1}{2} \le \cos(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$。

よって、$y$ の範囲は $2(-\frac{1}{2}) - 1 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 1 \le 2(1) - 1$ より $-2 \le y \le 1$。

最大値をとるのは $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ のときなので、$x + \frac{\pi}{3} = 0, 2\pi, ...$。

$0 \le x \le \pi$ より $x = \frac{5\pi}{3} = 0$, $x + \frac{\pi}{3} = 2\pi$ は範囲外なので、$x + \frac{\pi}{3} = 0$ではない。$\frac{\pi}{3} \le x+\frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$なので、$x+\frac{\pi}{3}$が0になることはなく、

このとき、$x + \frac{\pi}{3} = 2n\pi$ ($n$は整数) であり、$x = 2n\pi - \frac{\pi}{3}$となる。この範囲において $n = 0,1,2...$について考える。$n=0$の時、$x = -\pi /3$なので範囲外、$n=1$の時 $x=5\pi/3$なので範囲外。したがって、$x+\frac{\pi}{3} = 1$,すなわち、$x=2\pi n$,$x+\pi/3 =0$ となる$x$は存在しない。しかし、$x$がとりうる範囲を考えると、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$のとき、$x=0$となり、$y = 2\cos(\frac{\pi}{3})-1 = 2(\frac{1}{2}) -1 = 0$。

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$ となるのは $x + \frac{\pi}{3} = 0$ のときである。しかし、$x+\frac{\pi}{3}$の範囲は$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$なので、$\cos(x + \frac{\pi}{3})$が1になることはなく、$x=0$ で、$y=2*\frac{1}{2} -1 = 0$,が最大値である。

最小値をとるのは $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ のときなので、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$。

よって、$x = \frac{\pi}{3}, \pi$。このときの$y$は -2である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 ($x = \frac{\pi}{2}$), 最小値: 1 ($x = 0, \pi$)

(2) 最大値: 0 ($x = 0$), 最小値: -2 ($x = \frac{\pi}{3}, \pi$)