以下の二つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx$ (2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}} dx$

1. 問題の内容

以下の二つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数を有理化します。

$\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1})} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{x^2 - (x^2 + 1)} = \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{-1} = -x + \sqrt{x^2 + 1}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx = \int (-x + \sqrt{x^2 + 1}) dx = -\int x dx + \int \sqrt{x^2 + 1} dx$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$ です。

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx$ を計算するために、$x = \sinh{t}$ と置換します。すると、$dx = \cosh{t} dt$ となり、

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \int \sqrt{\sinh^2{t} + 1} \cosh{t} dt = \int \cosh^2{t} dt = \int \frac{1 + \cosh{2t}}{2} dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sinh{2t} + C_2 = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\sinh{t}\cosh{t} + C_2$

$t = \sinh^{-1}{x}$ なので、$\sinh{t} = x$ であり、$\cosh{t} = \sqrt{\sinh^2{t} + 1} = \sqrt{x^2 + 1}$ となります。

したがって、$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}\sinh^{-1}{x} + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + C_2$

$\sinh^{-1}{x} = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、

$\int \sqrt{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + C_2$

よって、$\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx = -\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + C$

(2)

$x+1 = \frac{1}{t}$ と置換します。 すると、$x = \frac{1}{t}-1$　であり、$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ となります。

$x^2 + x + 1 = (\frac{1}{t}-1)^2 + (\frac{1}{t}-1) + 1 = \frac{1}{t^2} - \frac{2}{t} + 1 + \frac{1}{t} - 1 + 1 = \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t} + 1 = \frac{1-t+t^2}{t^2}$

$\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{t} \sqrt{\frac{1-t+t^2}{t^2}}} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int \frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}} (-\frac{1}{t^2}) dt = -\int \frac{1}{\sqrt{1-t+t^2}} \frac{1}{t} dt = -\int \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}} dt$

$t^2 - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$u = t - \frac{1}{2}$ と置換すると、$du = dt$ となり、

$-\int \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}} dt = -\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + \frac{3}{4}}} du = -\sinh^{-1} (\frac{u}{\sqrt{\frac{3}{4}}}) + C = -\sinh^{-1} (\frac{2u}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1} (\frac{2(t - \frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1} (\frac{2t - 1}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1} (\frac{2(\frac{1}{x+1}) - 1}{\sqrt{3}}) + C = -\sinh^{-1} (\frac{1-x}{ (x+1)\sqrt{3} }) + C$

$= -\log ( \frac{1-x}{(x+1)\sqrt{3}} + \sqrt{ \frac{(1-x)^2}{3(x+1)^2} + 1}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} dx = -\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + C$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}} dx = - \log ( \frac{1-x}{(x+1)\sqrt{3}} + \sqrt{ \frac{(1-x)^2}{3(x+1)^2} + 1}) + C$

あるいは、簡略化すると、

$-\sinh^{-1} (\frac{1-x}{ (x+1)\sqrt{3} }) + C$