与えられた3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$ (2) $\lim_{n\to\infty} n \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right)$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \left( \sqrt{n^2-1^2} + 2\sqrt{n^2-2^2} + 3\sqrt{n^2-3^2} + \cdots + n\sqrt{n^2-n^2} \right)$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

(2) $\lim_{n\to\infty} n \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right)$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \left( \sqrt{n^2-1^2} + 2\sqrt{n^2-2^2} + 3\sqrt{n^2-3^2} + \cdots + n\sqrt{n^2-n^2} \right)$

2. 解き方の手順

(1) この極限はリーマン和の形に変換できます。

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k\pi}{n}$

これは、積分 $\int_0^1 \sin(\pi x) dx$ で表されます。

$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi}$

(2) こちらもリーマン和の形に変換します。

$\lim_{n\to\infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2} = \lim_{n\to\infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n^2(1+\frac{k}{n})^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}$

これは、積分 $\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx$ で表されます。

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$

(3) こちらもリーマン和の形に変換します。

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k\sqrt{n^2-k^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k\sqrt{n^2(1-\frac{k^2}{n^2})} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}}$

これは、積分 $\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx$ で表されます。

$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx$ に対して $u=1-x^2$ と置換すると、$du=-2xdx$ となり、

$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} dx = \int_1^0 \sqrt{u} (-\frac{1}{2})du = \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (1-0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\pi}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{3}$