与えられた関数を、指定された置換を用いて積分する問題です。具体的には以下の8つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx$, ($2x+1=t$) (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^4-2}} dx$, ($x^2=t$) (3) $\int \frac{1}{x^2+x+1} dx$, ($x+\frac{1}{2}=t$) (4) $\int x^3\sqrt{1+x^2} dx$, ($\sqrt{1+x^2}=t$) (5) $\int \cos^3 x \sin^2 x dx$, ($\sin x=t$) (6) $\int (x+1)\sqrt{2x-3} dx$, ($\sqrt{2x-3}=t$) (7) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$, ($\log x=t$) (8) $\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$, ($x=\tan t$)

はい、承知いたしました。画像に示された積分の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数を、指定された置換を用いて積分する問題です。具体的には以下の8つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx$, ($2x+1=t$)

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^4-2}} dx$, ($x^2=t$)

(3) $\int \frac{1}{x^2+x+1} dx$, ($x+\frac{1}{2}=t$)

(4) $\int x^3\sqrt{1+x^2} dx$, ($\sqrt{1+x^2}=t$)

(5) $\int \cos^3 x \sin^2 x dx$, ($\sin x=t$)

(6) $\int (x+1)\sqrt{2x-3} dx$, ($\sqrt{2x-3}=t$)

(7) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$, ($\log x=t$)

(8) $\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$, ($x=\tan t$)

2. 解き方の手順

各積分について、置換積分を行います。

(1) $2x+1=t$ より、$x = \frac{t-1}{2}$, $dx = \frac{1}{2} dt$。

$\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx = \int \frac{(\frac{t-1}{2})^2}{t^2} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{8} \int \frac{t^2-2t+1}{t^2} dt = \frac{1}{8} \int (1-\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}) dt = \frac{1}{8} (t - 2\log |t| - \frac{1}{t}) + C = \frac{1}{8} (2x+1 - 2\log |2x+1| - \frac{1}{2x+1}) + C$

(2) $x^2 = t$ より、$2x dx = dt$。

$\int \frac{x}{\sqrt{x^4-2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t^2-2}} dt = \frac{1}{2} \cosh^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) + C = \frac{1}{2} \cosh^{-1}(\frac{x^2}{\sqrt{2}}) + C = \frac{1}{2} \log |x^2 + \sqrt{x^4 - 2}| + C'$

(3) $x+\frac{1}{2}=t$ より、$x=t-\frac{1}{2}$, $dx=dt$。

$\int \frac{1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2 + (t-\frac{1}{2}) + 1} dt = \int \frac{1}{t^2+\frac{3}{4}} dt = \int \frac{1}{t^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dt = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2t}{\sqrt{3}}) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C$

(4) $\sqrt{1+x^2}=t$ より、$1+x^2 = t^2$, $x^2=t^2-1$, $2x dx = 2t dt$, $x dx = t dt$。

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \int x^2 \sqrt{1+x^2} x dx = \int (t^2-1) t \cdot t dt = \int (t^4 - t^2) dt = \frac{1}{5}t^5 - \frac{1}{3}t^3 + C = \frac{1}{5}(1+x^2)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C = (1+x^2)^{\frac{3}{2}}(\frac{1}{5}(1+x^2)-\frac{1}{3})+C$

$=(1+x^2)^{\frac{3}{2}}(\frac{3+3x^2-5}{15})+C = (1+x^2)^{\frac{3}{2}}(\frac{3x^2-2}{15})+C$

(5) $\sin x=t$ より、$\cos x dx = dt$。

$\int \cos^3 x \sin^2 x dx = \int \cos^2 x \sin^2 x \cos x dx = \int (1-\sin^2 x) \sin^2 x \cos x dx = \int (1-t^2) t^2 dt = \int (t^2 - t^4) dt = \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{5}t^5 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x - \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(6) $\sqrt{2x-3}=t$ より、$2x-3 = t^2$, $x = \frac{t^2+3}{2}$, $dx = t dt$。

$\int (x+1) \sqrt{2x-3} dx = \int (\frac{t^2+3}{2}+1) t \cdot t dt = \int (\frac{t^2+5}{2}) t^2 dt = \frac{1}{2} \int (t^4 + 5t^2) dt = \frac{1}{2} (\frac{1}{5}t^5 + \frac{5}{3}t^3) + C = \frac{1}{10} (2x-3)^{\frac{5}{2}} + \frac{5}{6} (2x-3)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $\log x = t$ より、$\frac{1}{x} dx = dt$。

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int t^2 dt = \frac{1}{3}t^3 + C = \frac{1}{3}(\log x)^3 + C$

(8) $x=\tan t$ より、$dx = \sec^2 t dt$。

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx = \int \frac{1}{(1+\tan^2 t)^{\frac{3}{2}}} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{(\sec^2 t)^{\frac{3}{2}}} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sec^3 t} \sec^2 t dt = \int \frac{1}{\sec t} dt = \int \cos t dt = \sin t + C$

$x=\tan t$ なので、$t = \arctan x$. $\sin t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8} (2x+1 - 2\log |2x+1| - \frac{1}{2x+1}) + C$

(2) $\frac{1}{2} \log |x^2 + \sqrt{x^4 - 2}| + C$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C$

(4) $(1+x^2)^{\frac{3}{2}}(\frac{3x^2-2}{15})+C$

(5) $\frac{1}{3}\sin^3 x - \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(6) $\frac{1}{10} (2x-3)^{\frac{5}{2}} + \frac{5}{6} (2x-3)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $\frac{1}{3}(\log x)^3 + C$

(8) $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$