与えられた関数を、指定された変数変換（置換）を用いて積分する問題です。具体的には、以下の8つの積分を計算します。 (1) $\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx$, $(2x+1 = t)$ (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^4 - 2}} dx$, $(x^2 = t)$ (3) $\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx$, $(x+\frac{1}{2} = t)$ (4) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$, $(\sqrt{1+x^2} = t)$ (5) $\int \cos^3 x \sin^2 x dx$, $(\sin x = t)$ (6) $\int (x+1) \sqrt{2x-3} dx$, $(\sqrt{2x-3} = t)$ (7) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$, $(\log x = t)$ (8) $\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$, $(x = \tan t)$

はい、承知いたしました。問題文に書かれている置換積分を用いて、各関数を積分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を、指定された変数変換（置換）を用いて積分する問題です。具体的には、以下の8つの積分を計算します。

(1) $\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx$, $(2x+1 = t)$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^4 - 2}} dx$, $(x^2 = t)$

(3) $\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx$, $(x+\frac{1}{2} = t)$

(4) $\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$, $(\sqrt{1+x^2} = t)$

(5) $\int \cos^3 x \sin^2 x dx$, $(\sin x = t)$

(6) $\int (x+1) \sqrt{2x-3} dx$, $(\sqrt{2x-3} = t)$

(7) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$, $(\log x = t)$

(8) $\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx$, $(x = \tan t)$

2. 解き方の手順

各積分に対して、指定された変数変換を行い、積分を計算します。

(1) $2x+1 = t$ より、$x = \frac{t-1}{2}$、$dx = \frac{1}{2} dt$.

$\int \frac{x^2}{(2x+1)^2} dx = \int \frac{(\frac{t-1}{2})^2}{t^2} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{8} \int \frac{t^2 - 2t + 1}{t^2} dt = \frac{1}{8} \int (1 - \frac{2}{t} + \frac{1}{t^2}) dt = \frac{1}{8} (t - 2 \log |t| - \frac{1}{t}) + C = \frac{1}{8} (2x+1 - 2 \log |2x+1| - \frac{1}{2x+1}) + C$

(2) $x^2 = t$ より、$2x dx = dt$、$x dx = \frac{1}{2} dt$.

$\int \frac{x}{\sqrt{x^4 - 2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2}} dt = \frac{1}{2} \log |t + \sqrt{t^2-2}| + C = \frac{1}{2} \log |x^2 + \sqrt{x^4-2}| + C$

(3) $x + \frac{1}{2} = t$ より、$x = t - \frac{1}{2}$、$dx = dt$.

$x^2 + x + 1 = (t-\frac{1}{2})^2 + (t-\frac{1}{2}) + 1 = t^2 - t + \frac{1}{4} + t - \frac{1}{2} + 1 = t^2 + \frac{3}{4}$.

$\int \frac{1}{x^2 + x + 1} dx = \int \frac{1}{t^2 + \frac{3}{4}} dt = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \arctan (\frac{t}{\sqrt{\frac{3}{4}}}) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2t}{\sqrt{3}}) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}}) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C$

(4) $\sqrt{1+x^2} = t$ より、$1+x^2 = t^2$、$x^2 = t^2-1$、$2x dx = 2t dt$、$x dx = t dt$.

$x^3 \sqrt{1+x^2} dx = x^2 \sqrt{1+x^2} x dx = (t^2-1) t (t dt) = (t^4 - t^2) dt$.

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx = \int (t^4 - t^2) dt = \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + C = \frac{(\sqrt{1+x^2})^5}{5} - \frac{(\sqrt{1+x^2})^3}{3} + C = \frac{(1+x^2)^{5/2}}{5} - \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3} + C$

(5) $\sin x = t$ より、$\cos x dx = dt$。$\cos^3 x = \cos^2 x \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x = (1-t^2) \cos x$.

$\int \cos^3 x \sin^2 x dx = \int (1-t^2) t^2 dt = \int (t^2 - t^4) dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} + C = \frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$.

(6) $\sqrt{2x-3} = t$ より、$2x-3 = t^2$、$2x = t^2+3$、$x = \frac{t^2+3}{2}$、$dx = t dt$.

$x+1 = \frac{t^2+3}{2} + 1 = \frac{t^2+5}{2}$.

$\int (x+1) \sqrt{2x-3} dx = \int \frac{t^2+5}{2} \cdot t \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^4 + 5t^2) dt = \frac{1}{2} (\frac{t^5}{5} + \frac{5t^3}{3}) + C = \frac{1}{2} (\frac{(\sqrt{2x-3})^5}{5} + \frac{5(\sqrt{2x-3})^3}{3}) + C = \frac{(2x-3)^{5/2}}{10} + \frac{5(2x-3)^{3/2}}{6} + C$

(7) $\log x = t$ より、$\frac{1}{x} dx = dt$.

$\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(8) $x = \tan t$ より、$dx = \frac{1}{\cos^2 t} dt = (1+\tan^2 t) dt = (1+x^2) dt$.

$1+x^2 = 1+\tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$.

$(1+x^2)^{3/2} = (\frac{1}{\cos^2 t})^{3/2} = \frac{1}{\cos^3 t}$.

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos^3 t}} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} dt = \int \cos t dt = \sin t + C$.

$\sin t = \frac{\tan t}{\sqrt{1+\tan^2 t}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

$\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8} (2x+1 - 2 \log |2x+1| - \frac{1}{2x+1}) + C$

(2) $\frac{1}{2} \log |x^2 + \sqrt{x^4-2}| + C$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C$

(4) $\frac{(1+x^2)^{5/2}}{5} - \frac{(1+x^2)^{3/2}}{3} + C$

(5) $\frac{\sin^3 x}{3} - \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(6) $\frac{(2x-3)^{5/2}}{10} + \frac{5(2x-3)^{3/2}}{6} + C$

(7) $\frac{(\log x)^3}{3} + C$

(8) $\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C$