$\cos x < \sqrt{3} \sin x$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos x < \sqrt{3} \sin x$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺を $\cos x$ で割ります。ただし、$\cos x$ の符号に注意する必要があります。

* $\cos x > 0$ のとき:

$\cos x$ で割ると、不等号の向きは変わらず、

$\frac{\cos x}{\cos x} < \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x}$

$1 < \sqrt{3} \tan x$

$\tan x > \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan x > \frac{\sqrt{3}}{3}$

* $\cos x < 0$ のとき:

$\cos x$ で割ると、不等号の向きが変わり、

$1 > \sqrt{3} \tan x$

$\tan x < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$

* $\cos x = 0$ のとき:

元の不等式は $0 < \sqrt{3} \sin x$ となります。$\cos x = 0$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$は整数)です。このとき、$\sin x = \pm 1$となるので、$\sin x > 0$ となる場合、つまり $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ のときに不等式が成り立ちます。$\sin x < 0$ となる場合、つまり $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ のときには不等式は成り立ちません。

$\tan x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる $x$ の範囲は、$\frac{\pi}{6} + n\pi < x < \frac{\pi}{2} + n\pi$ です。

$\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる $x$ の範囲は、$-\frac{\pi}{2} + n\pi < x < \frac{\pi}{6} + n\pi$ です。

$\cos x > 0$となる$x$の範囲は、$-\frac{\pi}{2} + 2n\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2n\pi$です。

$\cos x < 0$となる$x$の範囲は、$\frac{\pi}{2} + 2n\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$です。

したがって、

* $\cos x > 0$ かつ $\tan x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる範囲は $\frac{\pi}{6} + 2n\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2n\pi$

* $\cos x < 0$ かつ $\tan x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる範囲は $\frac{\pi}{2} + 2n\pi < x < \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$

以上の結果をまとめると、$\frac{\pi}{6} + n\pi < x < \frac{\pi}{2} + n\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} + n\pi < x < \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)