(1) 不定積分 $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$ を求めよ。 (2) 定積分 $\int_0^2 x^4 \sqrt{4-x^2} dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある微積分の問題のうち、問3.26(1)と問3.28(1)を解きます。

1. 問題の内容

(1) 不定積分 $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$ を求めよ。

(2) 定積分 $\int_0^2 x^4 \sqrt{4-x^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx$ について

まず、被積分関数を整理します。

$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \sqrt{\frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)}} = \sqrt{\frac{(1+x)^2}{1-x^2}} = \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、積分は $\int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ となります。

ここで、$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C_1$ （$C_1$は積分定数）です。

次に、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。$u = 1-x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となるので、$x dx = -\frac{1}{2} du$ です。

したがって、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = -\sqrt{u} + C_2 = -\sqrt{1-x^2} + C_2$（$C_2$は積分定数）です。

よって、$\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx = \arcsin(x) - \sqrt{1-x^2} + C$ ($C = C_1 + C_2$ は積分定数)となります。

(2) 定積分 $\int_0^2 x^4 \sqrt{4-x^2} dx$ について

$x = 2\sin\theta$ と置換します。$dx = 2\cos\theta d\theta$ となり、積分範囲は$x: 0 \rightarrow 2$に対して、$\theta: 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$ となります。

$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ となります。

$\int_0^2 x^4 \sqrt{4-x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2\sin\theta)^4 (2\cos\theta) (2\cos\theta) d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 16\sin^4\theta \cdot 4\cos^2\theta d\theta = 64 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta$

ここで、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m\theta \cos^n\theta d\theta = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2})\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2\Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ を利用します。($\Gamma(x)$はガンマ関数)

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta = \frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(\frac{8}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(4)}$

$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$

$\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$

$\Gamma(4) = 3! = 6$

$\frac{\Gamma(\frac{5}{2})\Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(4)} = \frac{\frac{3}{4}\sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{2 \cdot 6} = \frac{\frac{3}{8}\pi}{12} = \frac{\pi}{32}$

したがって、$64 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4\theta \cos^2\theta d\theta = 64 \cdot \frac{\pi}{32} = 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} dx = \arcsin(x) - \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int_0^2 x^4 \sqrt{4-x^2} dx = 2\pi$