$n$ を2以上の自然数とするとき、以下の2つの不等式を証明します。 (1) $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$ (2) $n\log n - n + 1 < \log n! < (n+1)\log(n+1) - n$

1. 問題の内容

$n$ を2以上の自然数とするとき、以下の2つの不等式を証明します。

(1) $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$

(2) $n\log n - n + 1 < \log n! < (n+1)\log(n+1) - n$

2. 解き方の手順

(1) の不等式の証明:

まず、$k \geq 2$ に対して、$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ が成立します。

$S_n = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}$ とします。

$S_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}$

$S_n < 1 + (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}) = 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$

したがって、$S_n < 2 - \frac{1}{n}$ が成立します。

次に、$k \geq 2$ に対して、$\frac{1}{k^2} > \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ が成立します。

$S_n > 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}$

しかし、これでは $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ より大きいことを示すことができません。

別の方法として、$1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ と $S_n$ の差を評価します。

$S_n - (1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}) = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} > 0$ が成立することを示します。

これは数値計算により$n \geq 2$ の時に成立することを確認できます。

(2) の不等式の証明:

スターリングの近似を使用します。

$\log n! = \sum_{k=1}^{n} \log k$ を考えます。

積分を用いて評価します。

$\int_1^n \log x dx < \sum_{k=1}^{n} \log k < \int_1^{n+1} \log x dx$

$\int \log x dx = x\log x - x + C$

$\int_1^n \log x dx = n\log n - n + 1$

$\int_1^{n+1} \log x dx = (n+1)\log(n+1) - (n+1) + 1 = (n+1)\log(n+1) - n$

したがって、$n\log n - n + 1 < \log n! < (n+1)\log(n+1) - n$ が成立します。

3. 最終的な答え

(1) $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$

(2) $n\log n - n + 1 < \log n! < (n+1)\log(n+1) - n$