与えられた極限 $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3-x^2-x+1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3-x^2-x+1}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - x + 1$を$x^2(x-1) - (x-1)$と変形し、$(x-1)(x^2-1)$と因数分解できます。

さらに、$x^2-1$は$(x-1)(x+1)$と因数分解できるため、

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x-1)(x^2-1) = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1)$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3-x^2-x+1} = \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}$

$x \ne -1$のとき、$x+1$で約分できます。

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x-1)^2(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{(x-1)^2}$

$x$に$-1$を代入すると、

$\frac{1}{(-1-1)^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$