$n$を2以上の自然数とするとき、次の二つの不等式を証明する問題です。 (1) $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$ (2) $n \log n - n + 1 < \log n! < (n+1) \log (n+1) - n$

1. 問題の内容

$n$を2以上の自然数とするとき、次の二つの不等式を証明する問題です。

(1) $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$

(2) $n \log n - n + 1 < \log n! < (n+1) \log (n+1) - n$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$n \geq 2$ のとき、$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ が成り立つことに注意します。

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ となります。

ここで、

$\frac{1}{2^2} < \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{3^2} < \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$\vdots$

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$

これらの不等式を足し合わせると、

$\frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n}$

したがって、

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n}$

次に、左側の不等式を示します。

$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} > 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ を評価します。$n=2$ のとき、$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < \frac{5}{4}$

$n=3$ のとき、$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9} < \frac{5}{4}$

$n \geq 2$ のとき $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ は増加関数なので、$1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ は成り立ちます。

(2)

$\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$

$\int_1^n \log x \, dx < \sum_{k=1}^n \log k < \int_1^{n+1} \log x \, dx$

$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$

$\int_1^n \log x \, dx = n \log n - n - (1 \log 1 - 1) = n \log n - n + 1$

$\int_1^{n+1} \log x \, dx = (n+1) \log (n+1) - (n+1) - (1 \log 1 - 1) = (n+1) \log (n+1) - n$

したがって、$n \log n - n + 1 < \log n! < (n+1) \log (n+1) - n$

3. 最終的な答え

(1) $1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2 - \frac{1}{n}$

(2) $n \log n - n + 1 < \log n! < (n+1) \log (n+1) - n$