$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ が成り立つような $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ が成り立つような $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要があります。つまり、

$ax^2 + bx + 1$ に $x=2$ を代入したとき、$0$ になる必要があります。したがって、

$a(2)^2 + b(2) + 1 = 0$

$4a + 2b + 1 = 0$

$2b = -4a - 1$

$b = -2a - \frac{1}{2}$

次に、$b = -2a - \frac{1}{2}$ を $\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + bx + 1}{x - 2} = 1$ に代入します。

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 + (-2a - \frac{1}{2})x + 1}{x - 2} = 1$

$\lim_{x \to 2} \frac{ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1}{x - 2} = 1$

分子を因数分解することを考えます。分子は $x=2$ のとき $0$ になるので、$x-2$ を因数に持ちます。

$ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1 = (x - 2)(Ax + B)$ となる $A, B$ を考えます。

$(x - 2)(Ax + B) = Ax^2 + (B - 2A)x - 2B$

この式と $ax^2 - (2a + \frac{1}{2})x + 1$ を比較すると、

$A = a$

$B - 2A = -(2a + \frac{1}{2})$

$-2B = 1$

したがって、$B = -\frac{1}{2}$ となります。

$B - 2A = -\frac{1}{2} - 2a = -(2a + \frac{1}{2})$ が成り立つので、$A = a$ は正しいです。

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(ax - \frac{1}{2})}{x - 2} = 1$

$\lim_{x \to 2} (ax - \frac{1}{2}) = 1$

$2a - \frac{1}{2} = 1$

$2a = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2a - \frac{1}{2} = -2(\frac{3}{4}) - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{4}$

$b = -2$