$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax + 3} - 1}{x - 2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{ax + 3} - 1}{x - 2}$ が収束するように $a$ の値を定め、そのときの極限値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$ のとき、分母が $x-2 \to 0$ となるので、分子も $0$ に収束しないと、極限が存在しない。

したがって、$\sqrt{2a + 3} - 1 = 0$ が成り立つ必要がある。

$\sqrt{2a + 3} = 1$

$2a + 3 = 1$

$2a = -2$

$a = -1$

$a = -1$ のとき、与えられた極限は

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x + 3} - 1}{x - 2}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、分子を有理化する。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{-x + 3} - 1}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{-x + 3} - 1)(\sqrt{-x + 3} + 1)}{(x - 2)(\sqrt{-x + 3} + 1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(-x + 3) - 1}{(x - 2)(\sqrt{-x + 3} + 1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-x + 2}{(x - 2)(\sqrt{-x + 3} + 1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{-x + 3} + 1)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{-1}{\sqrt{-x + 3} + 1}$

$= \frac{-1}{\sqrt{-2 + 3} + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = \frac{-1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$

極限値 $= -\frac{1}{2}$