定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

これは $x = \sqrt{3} \tan{\theta}$ と置換することで計算できます。

$dx = \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{1}{3 \tan^2{\theta} + 3} \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta$

$= \int \frac{\sqrt{3} \sec^2{\theta}}{3(\tan^2{\theta} + 1)} d\theta = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2{\theta}}{3 \sec^2{\theta}} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \int d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \theta + C$

ここで、$x = \sqrt{3} \tan{\theta}$ より、$\tan{\theta} = \frac{x}{\sqrt{3}}$ なので、$\theta = \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}}$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}} + C$

次に、定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} dx = \left[ \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}} \right]_{1}^{\sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \arctan{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \arctan{1} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} \right)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} \pi}{36}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3} \pi}{36}$