以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、逆三角関数を用いて解くことができます。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ の公式を利用します。

この問題の場合、$a^2 = 4$なので、$a = 2$となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{2}) + C$

となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = [\arcsin(\frac{x}{2})]_{0}^{\sqrt{2}}$

$= \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(\frac{0}{2})$

$= \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(0)$

$\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$

$\arcsin(0) = 0$

よって、

$\int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$