与えられた関数 $y = \cos^{-1}\frac{1}{x}$ （ただし $x > 1$）を微分して、$dy/dx$を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^{-1}\frac{1}{x}$ （ただし $x > 1$）を微分して、$dy/dx$を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\cos^{-1}u$ の微分公式を思い出します。

$\frac{d}{du} \cos^{-1} u = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

(2) 次に、合成関数の微分を使います。$u = \frac{1}{x}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

(3) $\frac{dy}{du}$ を計算します。$y = \cos^{-1}u$ なので、

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

(4) $\frac{du}{dx}$ を計算します。$u = \frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、

$\frac{du}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

(5) $\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \left( -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{x^2 \sqrt{1 - u^2}}$

(6) $u = \frac{1}{x}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 \sqrt{1 - \left( \frac{1}{x} \right)^2}} = \frac{1}{x^2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2 \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}}$

(7) $x > 1$ より、$|x| = x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}} = \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$