2変数関数 $f(x, y) = \cos x + 2\cos y - 3\sin(xy)$ を、$x$ と $y$ について2次までマクローリン展開せよ。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \cos x + 2\cos y - 3\sin(xy)$ を、$x$ と $y$ について2次までマクローリン展開せよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を原点$(0,0)$の周りでテイラー展開したものである。2変数関数の2次までのマクローリン展開は次の式で表される。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + f_{xy}(0, 0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2$

ここで、$f_x$, $f_y$, $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ はそれぞれ偏微分を表す。

まず、$f(x, y)$ の偏微分を計算する。

$f_x(x, y) = -\sin x - 3y\cos(xy)$

$f_y(x, y) = -2\sin y - 3x\cos(xy)$

$f_{xx}(x, y) = -\cos x + 3y^2\sin(xy)$

$f_{xy}(x, y) = -3\cos(xy) + 3xy\sin(xy)$

$f_{yy}(x, y) = -2\cos y + 3x^2\sin(xy)$

次に、これらの偏微分を $(0, 0)$ で評価する。

$f(0, 0) = \cos 0 + 2\cos 0 - 3\sin 0 = 1 + 2 - 0 = 3$

$f_x(0, 0) = -\sin 0 - 3(0)\cos(0) = 0$

$f_y(0, 0) = -2\sin 0 - 3(0)\cos(0) = 0$

$f_{xx}(0, 0) = -\cos 0 + 3(0)^2\sin(0) = -1$

$f_{xy}(0, 0) = -3\cos(0) + 3(0)(0)\sin(0) = -3$

$f_{yy}(0, 0) = -2\cos 0 + 3(0)^2\sin(0) = -2$

これらの値をマクローリン展開の式に代入する。

$f(x, y) \approx 3 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(-1)x^2 + (-3)xy + \frac{1}{2}(-2)y^2$

$f(x, y) \approx 3 - \frac{1}{2}x^2 - 3xy - y^2$

3. 最終的な答え

$f(x, y) \approx 3 - \frac{1}{2}x^2 - 3xy - y^2$