与えられた曲線 $y = x^2 - x + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた曲線 $y = x^2 - x + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線の導関数を求め、接線の傾きを計算する。

曲線の式 $y = x^2 - x + 1$ を $x$ で微分すると、次のようになる。

$\frac{dy}{dx} = 2x - 1$

次に、与えられた点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めるために、$x = 1$ を導関数に代入する。

$\frac{dy}{dx} \Bigr|_{x=1} = 2(1) - 1 = 1$

したがって、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $1$ である。

接線の傾きが $m = 1$ であり、点 $(x_1, y_1) = (1, 1)$ を通る直線の方程式は、点傾斜形 $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

したがって、接線の方程式は次のようになる。

$y - 1 = 1(x - 1)$

これを整理すると、

$y - 1 = x - 1$

$y = x$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = x$ である。