## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. $x = a\cos t, y = b\sin t$ ($a, b > 0, 0 \le t \le \pi$), $y = 0$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) の曲線の長さを求めよ。

3. $x = \cos^2 t, y = \sin t \cos t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 $V$ と回転面の面積 $S$ を求めよ。

4. $r = e^{\frac{\theta}{2}}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) と半直線 $\theta = 0$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

5. $r = e^{\theta}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) が表す曲線の長さを求めよ。

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2. 解き方の手順

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1. 曲線 $x = a\cos t, y = b\sin t$ ($a, b > 0, 0 \le t \le \pi$), $y = 0$ で囲まれた図形の面積

この曲線は上半分の楕円を表します。面積は以下の積分で求められます。

$S = \int_0^{\pi} y(t) x'(t) dt = \int_{\pi}^{0} b\sin t \cdot (-a\sin t) dt = ab \int_0^{\pi} \sin^2 t dt$

$\sin^2 t = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$ なので、

$S = ab \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} dt = ab [\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}]_0^{\pi} = ab (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi ab}{2}$

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2. 曲線 $x = e^t \cos t, y = e^t \sin t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) の長さ

曲線の長さ $L$ は次の式で計算できます。

$L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$\frac{dx}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)$

$\frac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$

$(\frac{dx}{dt})^2 = e^{2t} (\cos^2 t - 2\sin t \cos t + \sin^2 t) = e^{2t} (1 - 2\sin t \cos t)$

$(\frac{dy}{dt})^2 = e^{2t} (\sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t) = e^{2t} (1 + 2\sin t \cos t)$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = e^{2t} (1 - 2\sin t \cos t) + e^{2t} (1 + 2\sin t \cos t) = 2e^{2t}$

$L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{2e^{2t}} dt = \sqrt{2} \int_0^{\pi/2} e^t dt = \sqrt{2} [e^t]_0^{\pi/2} = \sqrt{2} (e^{\pi/2} - 1)$

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3. 曲線 $x = \cos^2 t, y = \sin t \cos t$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 $V$ と回転面の面積 $S$

$V = \int_0^{\pi/2} \pi y^2 \frac{dx}{dt} dt = \pi \int_{\pi/2}^0 (\sin t \cos t)^2 (-2\cos t \sin t) dt = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^3 t \cos^3 t dt$

$V = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^3 t \cos^3 t dt = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin^3 t (1 - \sin^2 t) \cos t dt$

$u = \sin t$ とすると $du = \cos t dt$ 。積分範囲は $0 \to 1$

$V = 2\pi \int_0^1 u^3 (1 - u^2) du = 2\pi \int_0^1 (u^3 - u^5) du = 2\pi [\frac{u^4}{4} - \frac{u^6}{6}]_0^1 = 2\pi (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = 2\pi (\frac{3 - 2}{12}) = \frac{\pi}{6}$

$S = \int_0^{\pi/2} 2\pi y \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$\frac{dx}{dt} = -2\cos t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t = \cos(2t)$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 4\cos^2 t \sin^2 t + \cos^2(2t) = \sin^2(2t) + \cos^2(2t) = 1$

$S = \int_0^{\pi/2} 2\pi (\sin t \cos t) \sqrt{1} dt = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin t \cos t dt = \pi \int_0^{\pi/2} \sin(2t) dt = \pi [-\frac{\cos(2t)}{2}]_0^{\pi/2} = \pi (-\frac{-1}{2} + \frac{1}{2}) = \pi$

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4. $r = e^{\frac{\theta}{2}}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) と半直線 $\theta = 0$ で囲まれた図形の面積

$S = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} r^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (e^{\frac{\theta}{2}})^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} e^{\theta} d\theta = \frac{1}{2} [e^{\theta}]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} (e^{2\pi} - 1)$

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5. $r = e^{\theta}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) が表す曲線の長さ

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$

$r = e^{\theta}$ なので $\frac{dr}{d\theta} = e^{\theta}$

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(e^{\theta})^2 + (e^{\theta})^2} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{2e^{2\theta}} d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} e^{\theta} d\theta = \sqrt{2} [e^{\theta}]_0^{2\pi} = \sqrt{2} (e^{2\pi} - 1)$

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3. 最終的な答え

1. $\frac{\pi ab}{2}$

2. $\sqrt{2}(e^{\pi/2} - 1)$

3. $V = \frac{\pi}{6}$, $S = \pi$

4. $\frac{1}{2}(e^{2\pi} - 1)$

5. $\sqrt{2}(e^{2\pi} - 1)$