与えられた微分方程式 $x'(t) + 5x(t) = e^{-5t}$ を初期条件 $x(0) = 2$ の下で解き、選択肢の中から正しい解を選びます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x'(t) + 5x(t) = e^{-5t}$ を初期条件 $x(0) = 2$ の下で解き、選択肢の中から正しい解を選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式は1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。積分因子 $\mu(t)$ は次のように計算されます。

$\mu(t) = e^{\int 5 dt} = e^{5t}$

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^{5t}x'(t) + 5e^{5t}x(t) = e^{5t}e^{-5t}$

左辺は積の微分になるので、

$\frac{d}{dt}(e^{5t}x(t)) = 1$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dt}(e^{5t}x(t)) dt = \int 1 dt$

$e^{5t}x(t) = t + C$

ここで、$C$は積分定数です。$x(t)$について解きます。

$x(t) = te^{-5t} + Ce^{-5t}$

次に、初期条件$x(0) = 2$を用いて積分定数$C$を決定します。

$x(0) = 0e^{-5(0)} + Ce^{-5(0)} = 2$

$C = 2$

したがって、微分方程式の解は次のようになります。

$x(t) = te^{-5t} + 2e^{-5t}$

3. 最終的な答え

$x(t) = te^{-5t} + 2e^{-5t}$

選択肢1が正しいです。