定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分母を平方完成します。

$x^2 - 2x + 4 = (x^2 - 2x + 1) + 3 = (x-1)^2 + 3$

したがって、

$\int_{1}^{4} \frac{1}{x^2 - 2x + 4} dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{(x-1)^2 + 3} dx$

ここで、$u = x-1$ と置換すると、$du = dx$ であり、積分範囲は $x=1$ のとき $u=0$ 、$x=4$ のとき $u=3$ となります。

よって、

$\int_{1}^{4} \frac{1}{(x-1)^2 + 3} dx = \int_{0}^{3} \frac{1}{u^2 + 3} du$

ここで、$u = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$du = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$ となります。

また、$u^2 + 3 = 3 \tan^2 \theta + 3 = 3(\tan^2 \theta + 1) = 3 \sec^2 \theta$ となります。

積分範囲は、$u=0$ のとき $\tan \theta = 0$ より $\theta = 0$、$u=3$ のとき $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

よって、

$\int_{0}^{3} \frac{1}{u^2 + 3} du = \int_{0}^{\pi/3} \frac{1}{3 \sec^2 \theta} \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\pi/3} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} [\theta]_{0}^{\pi/3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{3} - 0 \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$