曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から点$(1, 0)$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点から点$(1, 0)$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点を$(t, t^2 + 2t + 1)$とします。

この点における接線の傾きは、$y' = 2x + 2$ より、$2t + 2$ です。

よって、接線の方程式は

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

この接線が点$(1, 0)$を通るので、

$0 - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(1 - t)$

$-t^2 - 2t - 1 = 2t + 2 - 2t^2 - 2t$

$-t^2 - 2t - 1 = 2 - 2t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

$t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 + 2(3) + 1) = (3, 16)$

接線の方程式は $y - 16 = (2(3) + 2)(x - 3)$

$y - 16 = 8(x - 3)$

$y = 8x - 24 + 16$

$y = 8x - 8$

$t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1)^2 + 2(-1) + 1) = (-1, 0)$

接線の方程式は $y - 0 = (2(-1) + 2)(x - (-1))$

$y = 0(x + 1)$

$y = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 8x - 8$ のとき、接点は $(3, 16)$

接線の方程式が $y = 0$ のとき、接点は $(-1, 0)$