曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求める。

曲線 $y = x^3 + x^2 - x - 1$ を $x$ で微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x - 1$

ステップ2: 接線の傾きを求める。

点 $(1, 0)$ における接線の傾き $m$ は、導関数 $y'$ に $x = 1$ を代入することで得られる。

$m = y'(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$

ステップ3: 接線の方程式を求める。

点 $(1, 0)$ を通り、傾きが $4$ の直線の方程式を求める。点傾斜形の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられる。ここで $(x_1, y_1) = (1, 0)$ であり、$m = 4$ である。

$y - 0 = 4(x - 1)$

$y = 4x - 4$

3. 最終的な答え

点 $(1, 0)$ における接線の方程式は $y = 4x - 4$ である。