曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上の点 $(2, 5)$ から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上の点 $(2, 5)$ から引かれた接線の方程式と、接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上の任意の点 $(t, 2t^2 - 1)$ における接線を考える。

この曲線を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 4x$

したがって、点 $(t, 2t^2 - 1)$ における接線の傾きは $4t$ となる。

接線の方程式は、点 $(t, 2t^2 - 1)$ を通り、傾きが $4t$ の直線なので、

$y - (2t^2 - 1) = 4t(x - t)$

$y = 4tx - 4t^2 + 2t^2 - 1$

$y = 4tx - 2t^2 - 1$

この接線が点 $(2, 5)$ を通るので、

$5 = 4t(2) - 2t^2 - 1$

$5 = 8t - 2t^2 - 1$

$2t^2 - 8t + 6 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

$t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, 2(1)^2 - 1) = (1, 1)$ であり、接線の方程式は $y = 4(1)x - 2(1)^2 - 1 = 4x - 3$ である。

$t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 2(3)^2 - 1) = (3, 17)$ であり、接線の方程式は $y = 4(3)x - 2(3)^2 - 1 = 12x - 19$ である。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 4x - 3$ のとき、接点は $(1, 1)$

接線の方程式が $y = 12x - 19$ のとき、接点は $(3, 17)$