与えられた極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1 - x^2}$

はい、承知いたしました。画像に示された数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1 - x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$= \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$= \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$= \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

分子を有理化します。

$\sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$= \sqrt{2x} \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6x}{5x}$

$= \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6}{5}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin 6x}{6x} \to 1$、$\frac{\sin 5x}{5x} \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1 - x^2}$

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{(1 - x)(1 + x)} = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{-(x-1)(x+1)}$

$x = 1+h$ と置換すると、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log(1+h)}{-h(2+h)}$

$\log(1+h) \approx h$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h) h}{-h(2+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{1+h}{-(2+h)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{6}{5}$

(4) $-\frac{1}{2}$