$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の不等式を解け。 (1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、以下の不等式を解け。

(1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$ について

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

単位円を考えると、$\sin \theta < -\frac{1}{2}$ となる範囲は、$\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$ となります。

(2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ について

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

単位円を考えると、$\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる範囲は、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$ となります。

(3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$ について

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$\tan \theta$ は周期 $\pi$ の関数なので、$\tan \theta \ge \sqrt{3}$ となる範囲は、$\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ と $\frac{4\pi}{3} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$

(3) $\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{4\pi}{3} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$