方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解をもつことを示す。

1. 問題の内容

方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ が、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解をもつことを示す。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用する。

まず、関数 $f(x) = \sin x - x \cos x$ を定義する。

次に、$f(\pi)$ と $f(\frac{3}{2}\pi)$ の符号を調べる。

$f(\pi) = \sin \pi - \pi \cos \pi = 0 - \pi (-1) = \pi > 0$

$f(\frac{3}{2}\pi) = \sin \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{2}\pi \cos \frac{3}{2}\pi = -1 - \frac{3}{2}\pi (0) = -1 < 0$

$f(x)$ は連続関数であり、$f(\pi) > 0$ かつ $f(\frac{3}{2}\pi) < 0$ であるから、中間値の定理より、区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ において $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在する。

3. 最終的な答え

$f(x) = \sin x - x \cos x$ は連続関数であり、$f(\pi) > 0$ かつ $f(\frac{3}{2}\pi) < 0$ であるから、中間値の定理より、方程式 $\sin x - x \cos x = 0$ は、開区間 $(\pi, \frac{3}{2}\pi)$ に少なくとも1つの解をもつ。