関数 $y = 2\sin{x} - \frac{\pi}{2}$ が区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解を持つことを示しなさい。また、$y = [x]$は$x=0$で連続かどうか調べなさい。ただし$[x]$はガウス記号を表す。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin{x} - \frac{\pi}{2}$ が区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解を持つことを示しなさい。また、$y = [x]$は$x=0$で連続かどうか調べなさい。ただし$[x]$はガウス記号を表す。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2\sin{x} - \frac{\pi}{2}$ が区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解を持つことを示す。これは中間値の定理を利用する。

関数 $f(x) = 2\sin{x} - \frac{\pi}{2}$ は連続関数である。

区間の端点での関数値を計算する。

$f(-\pi) = 2\sin(-\pi) - \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$

$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 - \frac{\pi}{2} = 2 - \frac{\pi}{2}$

ここで、$f(-\pi) = -\frac{\pi}{2} < 0$ であり、$f(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{2} > 0$ である（なぜなら $\pi < 4$ より $\frac{\pi}{2} < 2$）。

したがって、$f(-\pi) < 0$ かつ $f(\frac{\pi}{2}) > 0$ なので、中間値の定理より、区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ 内に $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在する。よって、関数 $y = 2\sin{x} - \frac{\pi}{2}$ は区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解を持つ。

次に、$y = [x]$ が $x = 0$ で連続かどうかを調べる。

ガウス記号 $[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表す。

$x = 0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

1. $f(0)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0) = [0] = 0$ である。

次に、$\lim_{x \to 0} [x]$ を調べる。

右側極限：$\lim_{x \to 0^+} [x] = 0$

左側極限：$\lim_{x \to 0^-} [x] = -1$

右側極限と左側極限が異なるので、$\lim_{x \to 0} [x]$ は存在しない。

したがって、関数 $y = [x]$ は $x = 0$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

$y = 2\sin{x} - \frac{\pi}{2}$ は区間 $(-\pi, \frac{\pi}{2})$ で少なくとも1つの実数解を持つ。

$y = [x]$ は $x = 0$ で連続ではない。