(1) $f(x)$ が区間 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ で連続な関数であるとき、置換積分を用いて $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\cos x)}{\sin x + \cos x} dx $$ が成り立つことを示せ。 (2) $\frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x}$ を $\sin 2x$ を用いて表せ。 (3) 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^5 x}{\sin x + \cos x} dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $f(x)$ が区間 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ で連続な関数であるとき、置換積分を用いて

$$$$

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\cos x)}{\sin x + \cos x} dx

$$$$

が成り立つことを示せ。

(2) $\frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x}$ を $\sin 2x$ を用いて表せ。

(3) 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^5 x}{\sin x + \cos x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin x)}{\sin x + \cos x} dx$ とする。

$x = \frac{\pi}{2} - t$ と置換すると、$dx = -dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して $t: \frac{\pi}{2} \to 0$ となる。

よって、

$$$$

I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{f(\sin (\frac{\pi}{2} - t))}{\sin (\frac{\pi}{2} - t) + \cos (\frac{\pi}{2} - t)} (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\cos t)}{\cos t + \sin t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\cos x)}{\sin x + \cos x} dx

$$$$

したがって、

$$$$

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\cos x)}{\sin x + \cos x} dx

$$$$

が成り立つ。

(2)

$\sin^5 x + \cos^5 x = (\sin x + \cos x)(\sin^4 x - \sin^3 x \cos x + \sin^2 x \cos^2 x - \sin x \cos^3 x + \cos^4 x)$

$= (\sin x + \cos x) ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x \cos^2 x)$

$= (\sin x + \cos x) (1 - \sin^2 x \cos^2 x - \sin x \cos x)$

$\frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \sin^2 x \cos^2 x - \sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ なので、

$\frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{1}{4} \sin^2 2x - \frac{1}{2} \sin 2x$

$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ なので、

$\frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{1}{4} (\frac{1 - \cos 4x}{2}) - \frac{1}{2} \sin 2x = 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos 4x - \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

(3)

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^5 x}{\sin x + \cos x} dx$

(1)より、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^5 x}{\sin x + \cos x} dx$

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{7}{8} - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 4x) dx = [\frac{7}{8}x + \frac{1}{4} \cos 2x + \frac{1}{32} \sin 4x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{7}{8} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi + \frac{1}{32} \sin 2\pi - (\frac{1}{4} \cos 0 + \frac{1}{32} \sin 0) = \frac{7\pi}{16} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7\pi}{16} - \frac{1}{2}$

$I = \frac{7\pi}{32} - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin x)}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\cos x)}{\sin x + \cos x} dx$ が成り立つ。

(2) $\frac{\sin^5 x + \cos^5 x}{\sin x + \cos x} = \frac{7}{8} - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{8} \cos 4x$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^5 x}{\sin x + \cos x} dx = \frac{7\pi}{32} - \frac{1}{4}$