$y = \sin 2\theta - \sin \theta + \cos \theta$ 、 $t = \sin \theta - \cos \theta$ ( $0 \leq \theta \leq \pi$ ) とする。 (1) $y$ を $t$ の式で表せ。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$y = \sin 2\theta - \sin \theta + \cos \theta$ 、 $t = \sin \theta - \cos \theta$ ( $0 \leq \theta \leq \pi$ ) とする。

(1) $y$ を $t$ の式で表せ。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t^2$ を計算します。

$t = \sin \theta - \cos \theta$ より、

$t^2 = (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - \sin 2\theta$

したがって、$\sin 2\theta = 1 - t^2$

$y = \sin 2\theta - \sin \theta + \cos \theta = \sin 2\theta - (\sin \theta - \cos \theta) = \sin 2\theta - t$

$\sin 2\theta = 1 - t^2$ を代入すると、

$y = 1 - t^2 - t = -t^2 - t + 1$

(2)

$t = \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{4})$

$0 \leq \theta \leq \pi$ なので、$-\frac{\pi}{4} \leq \theta - \frac{\pi}{4} \leq \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin (\theta - \frac{\pi}{4}) \leq 1$

$-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2} \sin (\theta - \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2} \cdot 1$

$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(3)

$y = -t^2 - t + 1 = -(t^2 + t) + 1 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 1 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$ において、

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最大値 $y = \frac{5}{4}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最小値 $y = -(\sqrt{2} + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4} = -(2 + \sqrt{2} + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4} = -2 - \sqrt{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = -2 - \sqrt{2} + 1 = -1 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -t^2 - t + 1$

(2) $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) 最大値: $\frac{5}{4}$, 最小値: $-1 - \sqrt{2}$