与えられた関数 $\frac{1}{\tan^2 x}$ を積分します。

はい、承知いたしました。画像にある積分問題のうち、問題(10) $\frac{1}{\tan^2 x}$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{1}{\tan^2 x}$ を積分します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$\frac{1}{\tan^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$

$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$

したがって、

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx$

$\int \csc^2 x dx = - \cot x + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

$\int (\csc^2 x - 1) dx = - \cot x - x + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = - \cot x - x + C$