問題は2つあります。 [1] 定積分 $\int_{2}^{4} \frac{24}{x^3+8} dx$ について、 (1) 被積分関数 $\frac{24}{x^3+8}$ を部分分数分解せよ。ただし、$\frac{24}{x^3+8} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+4}$ と表される。 (2) (1)の結果を利用して、定積分の値を求めよ。 [2] $e^x = t$ と置換して、定積分 $\int_{0}^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{dx}{e^x + e^{3x}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

[1] 定積分 $\int_{2}^{4} \frac{24}{x^3+8} dx$ について、

(1) 被積分関数 $\frac{24}{x^3+8}$ を部分分数分解せよ。ただし、$\frac{24}{x^3+8} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+4}$ と表される。

(2) (1)の結果を利用して、定積分の値を求めよ。

[2] $e^x = t$ と置換して、定積分 $\int_{0}^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{dx}{e^x + e^{3x}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

[1] (1)

$\frac{24}{x^3+8} = \frac{24}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2-2x+4}$

$24 = A(x^2-2x+4) + (Bx+C)(x+2)$

両辺の係数を比較する。

$x^2$の係数: $0 = A + B$

$x$の係数: $0 = -2A + 2B + C$

定数項: $24 = 4A + 2C$

$x = -2$を代入すると、

$24 = A((-2)^2 - 2(-2) + 4) + 0 = A(4 + 4 + 4) = 12A$

$A = 2$

$B = -A = -2$

$2C = 24 - 4A = 24 - 4(2) = 24 - 8 = 16$

$C = 8$

$\frac{24}{x^3+8} = \frac{2}{x+2} + \frac{-2x+8}{x^2-2x+4}$

[1] (2)

$\int_{2}^{4} \frac{24}{x^3+8} dx = \int_{2}^{4} \left(\frac{2}{x+2} + \frac{-2x+8}{x^2-2x+4}\right) dx$

$= \int_{2}^{4} \frac{2}{x+2} dx + \int_{2}^{4} \frac{-2x+2+6}{x^2-2x+4} dx$

$= 2\int_{2}^{4} \frac{1}{x+2} dx - \int_{2}^{4} \frac{2x-2}{x^2-2x+4} dx + \int_{2}^{4} \frac{6}{x^2-2x+1+3} dx$

$= 2[\ln|x+2|]_{2}^{4} - [\ln|x^2-2x+4|]_{2}^{4} + 6\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-1)^2+3} dx$

$= 2(\ln6 - \ln4) - (\ln(16-8+4) - \ln(4-4+4)) + 6\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{x-1}{\sqrt{3}}}\right]_{2}^{4}$

$= 2\ln\frac{6}{4} - (\ln12 - \ln4) + 2\sqrt{3}\left(\arctan{\frac{3}{\sqrt{3}}} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$

$= 2\ln\frac{3}{2} - \ln\frac{12}{4} + 2\sqrt{3}\left(\arctan{\sqrt{3}} - \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$

$= 2\ln\frac{3}{2} - \ln3 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)$

$= 2\ln\frac{3}{2} - \ln3 + 2\sqrt{3} \frac{\pi}{6} = 2\ln\frac{3}{2} - \ln3 + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$

$= \ln\frac{9}{4} - \ln3 + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} = \ln\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$

[2]

$e^x = t$

$e^{3x} = (e^x)^3 = t^3$

$e^x dx = dt$

$dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$

$x=0 \implies t=e^0 = 1$

$x=\ln\sqrt{3} \implies t=e^{\ln\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\int_{0}^{\ln{\sqrt{3}}} \frac{dx}{e^x + e^{3x}} = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t+t^3} \frac{dt}{t} = \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t^2(1+t^2)} dt$

$\frac{1}{t^2(1+t^2)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t^2} + \frac{Ct+D}{1+t^2}$

$1 = At(1+t^2) + B(1+t^2) + (Ct+D)t^2 = At+At^3 + B+Bt^2+Ct^3+Dt^2$

$t^3$の係数: $0 = A + C$

$t^2$の係数: $0 = B + D$

$t$の係数: $0 = A$

定数項: $1 = B$

$A = 0, C = 0, B = 1, D = -1$

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t^2(1+t^2)} dt = \int_{1}^{\sqrt{3}} \left(\frac{1}{t^2} - \frac{1}{1+t^2}\right) dt$

$= \left[-\frac{1}{t} - \arctan{t}\right]_{1}^{\sqrt{3}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} - \arctan{\sqrt{3}}\right) - (-1 - \arctan{1})$

$= -\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{3} + 1 + \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

[1] (1) $\frac{24}{x^3+8} = \frac{2}{x+2} + \frac{-2x+8}{x^2-2x+4}$

[1] (2) $\ln\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3}$

[2] $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}$