$a = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}$ とおくとき、定積分 $I = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} x(x^4 - \sqrt{11}x^2 + 2)^4 dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}$, $b = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}$ とおくとき、定積分 $I = \int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}} x(x^4 - \sqrt{11}x^2 + 2)^4 dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ より、$xdx = \frac{1}{2} dt$ である。

また、積分範囲は $x = \sqrt{a}$ のとき $t = a = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2}$, $x = \sqrt{b}$ のとき $t = b = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2}$ となる。

したがって、

$I = \int_{a}^{b} (t^2 - \sqrt{11}t + 2)^4 \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (t^2 - \sqrt{11}t + 2)^4 dt$

ここで、$a, b$ の和と積を計算すると、

$a+b = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2} = \sqrt{11}$

$ab = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2} = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

よって、$t^2 - \sqrt{11}t + 2 = (t - a)(t - b)$ であるから、被積分関数は $((t - a)(t - b))^4 = (t-a)^4(t-b)^4$ となる。

$t = \frac{a+b}{2} + u = \frac{\sqrt{11}}{2} + u$ と変数変換する。

$dt = du$ であり、積分範囲は

$t = a$ のとき $u = a - \frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{11}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$t = b$ のとき $u = b - \frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$I = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\frac{\sqrt{11}}{2} + u - a)^4 (\frac{\sqrt{11}}{2} + u - b)^4 du$

ここで、

$\frac{\sqrt{11}}{2} - a = \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{11}}{2} - b = \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$I = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (u + \frac{\sqrt{3}}{2})^4 (u - \frac{\sqrt{3}}{2})^4 du = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (u^2 - \frac{3}{4})^4 du$

被積分関数は偶関数であるから、

$I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (u^2 - \frac{3}{4})^4 du$

$I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} (u^8 - 3u^6 + \frac{27}{8}u^4 - \frac{27}{16}u^2 + \frac{81}{256})du$

$I = [\frac{1}{9}u^9 - \frac{3}{7}u^7 + \frac{27}{40}u^5 - \frac{9}{16}u^3 + \frac{81}{256}u]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$I = \frac{1}{9}(\frac{\sqrt{3}}{2})^9 - \frac{3}{7}(\frac{\sqrt{3}}{2})^7 + \frac{27}{40}(\frac{\sqrt{3}}{2})^5 - \frac{9}{16}(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 + \frac{81}{256}(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$I = \frac{1}{9}\frac{3^4\sqrt{3}}{2^9} - \frac{3}{7}\frac{3^3\sqrt{3}}{2^7} + \frac{27}{40}\frac{3^2\sqrt{3}}{2^5} - \frac{9}{16}\frac{3\sqrt{3}}{2^3} + \frac{81}{256}\frac{\sqrt{3}}{2}$

$I = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{81}{9 \cdot 256} - \frac{81}{7 \cdot 128} + \frac{243}{40 \cdot 32} - \frac{27}{16 \cdot 8} + \frac{81}{256})$

$I = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{9}{256} - \frac{81}{896} + \frac{243}{1280} - \frac{27}{128} + \frac{81}{256})$

$I = \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{90}{256} - \frac{81}{896} + \frac{243}{1280} - \frac{27}{128})$

$I=0$

3. 最終的な答え

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