1. 問題の内容
与えられた関数 の臨界点を求め、極値の判定法を用いて、それぞれの臨界点が極大点、極小点、鞍点のいずれであるかを判定する。
2. 解き方の手順
(1) の場合:
* 偏微分を計算する。
* かつ となる を求める。
連立方程式を解くと、 , 。
* 2階偏微分を計算する。
* 判別式 を計算する。
* 臨界点 における と の値を調べる。
したがって、 は極小点である。
(2) の場合:
* 偏微分を計算する。
* かつ となる を求める。
であるから、
場合1: のとき、 より 。臨界点は 。
場合2: のとき、 。 より , 。臨界点は 。
* 座標の小さい順に臨界点を並べると、 , 。
* 2階偏微分を計算する。
* 判別式 を計算する。
(1, 0) において:
したがって、 は鞍点である。
(3/2, 1) において:
したがって、 は鞍点である。
3. 最終的な答え
(1) -13/18
(2) 29/72
(3) 576
(4) 20
(5) 極小点
(6) 1
(7) 0
(8) 3/2
(9) 1
(10) -e^{-4}
(11) 0
(12) 鞍点
(13) -e^{-8}
(14) -2e^{-4}
(15) 鞍点