与えられた関数 $f(x,y)$ の臨界点を求め、極値の判定法を用いて、それぞれの臨界点が極大点、極小点、鞍点のいずれであるかを判定する。

解析学多変数関数臨界点極値偏微分極大極小鞍点
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x,y)f(x,y) の臨界点を求め、極値の判定法を用いて、それぞれの臨界点が極大点、極小点、鞍点のいずれであるかを判定する。

2. 解き方の手順

(1) f(x,y)=10x2+8xy+16y2+22x8yf(x,y) = 10x^2 + 8xy + 16y^2 + 22x - 8y の場合:
* 偏微分を計算する。
fx=20x+8y+22f_x = 20x + 8y + 22
fy=8x+32y8f_y = 8x + 32y - 8
* fx=0f_x = 0 かつ fy=0f_y = 0 となる (x,y)(x, y) を求める。
20x+8y+22=020x + 8y + 22 = 0
8x+32y8=08x + 32y - 8 = 0
連立方程式を解くと、 x=1318x = -\frac{13}{18}, y=2972y = \frac{29}{72}
* 2階偏微分を計算する。
fxx=20f_{xx} = 20
fyy=32f_{yy} = 32
fxy=8f_{xy} = 8
* 判別式 D=fxxfyy(fxy)2D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 を計算する。
D=(20)(32)(8)2=64064=576D = (20)(32) - (8)^2 = 640 - 64 = 576
* 臨界点 (1318,2972)\left(-\frac{13}{18}, \frac{29}{72}\right) における DDfxxf_{xx} の値を調べる。
D=576>0D = 576 > 0
fxx=20>0f_{xx} = 20 > 0
したがって、 (1318,2972)\left(-\frac{13}{18}, \frac{29}{72}\right) は極小点である。
(2) f(x,y)=(xyy)e2xyf(x,y) = (xy - y)e^{-2x-y} の場合:
* 偏微分を計算する。
fx=(y)e2xy+(xyy)(2)e2xy=(y2xy+2y)e2xy=(3y2xy)e2xy=y(32x)e2xyf_x = (y)e^{-2x-y} + (xy - y)(-2)e^{-2x-y} = (y - 2xy + 2y)e^{-2x-y} = (3y - 2xy)e^{-2x-y} = y(3-2x)e^{-2x-y}
fy=(x1)e2xy+(xyy)(1)e2xy=(x1xy+y)e2xy=(xxy+y1)e2xyf_y = (x - 1)e^{-2x-y} + (xy - y)(-1)e^{-2x-y} = (x - 1 - xy + y)e^{-2x-y} = (x - xy + y - 1)e^{-2x-y}
* fx=0f_x = 0 かつ fy=0f_y = 0 となる (x,y)(x, y) を求める。
y(32x)e2xy=0y(3-2x)e^{-2x-y} = 0
(xxy+y1)e2xy=0(x - xy + y - 1)e^{-2x-y} = 0
e2xy>0e^{-2x-y} > 0 であるから、
y(32x)=0y(3-2x) = 0
xxy+y1=0x - xy + y - 1 = 0
場合1: y=0y = 0 のとき、 x1=0x - 1 = 0 より x=1x = 1。臨界点は (1,0)(1, 0)
場合2: 32x=03 - 2x = 0 のとき、 x=32x = \frac{3}{2}3232y+y1=0\frac{3}{2} - \frac{3}{2}y + y - 1 = 0 より 1212y=0\frac{1}{2} - \frac{1}{2}y = 0, y=1y = 1。臨界点は (32,1)(\frac{3}{2}, 1)
* xx 座標の小さい順に臨界点を並べると、 (1,0)(1, 0), (32,1)(\frac{3}{2}, 1)
* 2階偏微分を計算する。
fxx=2y(32x)e2xy+y(2)e2xy=(6y+4xy2y)e2xy=(8y+4xy)e2xy=4y(x2)e2xyf_{xx} = -2y(3-2x)e^{-2x-y} + y(-2)e^{-2x-y} = (-6y + 4xy - 2y)e^{-2x-y} = (-8y + 4xy)e^{-2x-y} = 4y(x-2)e^{-2x-y}
fyy=(xxy+y1)(1)e2xy+(xy)e2xy=(x+xyy+1+xy)e2xy=(xy2y+1)e2xyf_{yy} = (x-xy+y-1)(-1)e^{-2x-y} + (x-y)e^{-2x-y} = (-x + xy - y + 1 + x - y)e^{-2x-y} = (xy - 2y + 1)e^{-2x-y}
fxy=(3y2xy)(1)e2xy+(32x)e2xy=(3y+2xy+32x)e2xyf_{xy} = (3y - 2xy)(-1)e^{-2x-y} + (3 - 2x)e^{-2x-y} = (-3y + 2xy + 3 - 2x)e^{-2x-y}
* 判別式 D=fxxfyy(fxy)2D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 を計算する。
(1, 0) において:
fxx(1,0)=0f_{xx}(1, 0) = 0
fyy(1,0)=(00+1)e2=e2f_{yy}(1, 0) = (0 - 0 + 1)e^{-2} = e^{-2}
fxy(1,0)=(0+0+32)e2=e2f_{xy}(1, 0) = (0 + 0 + 3 - 2)e^{-2} = e^{-2}
D=0(e2)2=e4<0D = 0 - (e^{-2})^2 = -e^{-4} < 0
したがって、 (1,0)(1, 0) は鞍点である。
(3/2, 1) において:
fxx(3/2,1)=4(1)(3/22)e31=4(1/2)e4=2e4f_{xx}(3/2, 1) = 4(1)(3/2 - 2)e^{-3-1} = 4(-1/2)e^{-4} = -2e^{-4}
fyy(3/2,1)=(3/22+1)e4=(1/2)e4f_{yy}(3/2, 1) = (3/2 - 2 + 1)e^{-4} = (1/2)e^{-4}
fxy(3/2,1)=(3+3+33)e4=0f_{xy}(3/2, 1) = (-3 + 3 + 3 - 3)e^{-4} = 0
D=(2e4)(1/2e4)0=e8<0D = (-2e^{-4})(1/2e^{-4}) - 0 = -e^{-8} < 0
したがって、 (32,1)(\frac{3}{2}, 1) は鞍点である。

3. 最終的な答え

(1) -13/18
(2) 29/72
(3) 576
(4) 20
(5) 極小点
(6) 1
(7) 0
(8) 3/2
(9) 1
(10) -e^{-4}
(11) 0
(12) 鞍点
(13) -e^{-8}
(14) -2e^{-4}
(15) 鞍点

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