関数 $f(x) = \log x - x$ を $x=1$ の周りで2次までテイラー展開せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log x - x$ を $x=1$ の周りで2次までテイラー展開せよ。

2. 解き方の手順

テイラー展開は以下の式で与えられます。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

この問題では、$a=1$ なので、$x=1$ の周りでのテイラー展開を求めます。2次までなので、2次導関数まで求めます。

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f(x) = \log x - x$

$f'(x) = \frac{1}{x} - 1$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

次に、$f(1), f'(1), f''(1)$ を計算します。

$f(1) = \log 1 - 1 = 0 - 1 = -1$

$f'(1) = \frac{1}{1} - 1 = 1 - 1 = 0$

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

これらの値をテイラー展開の式に代入します。

$f(x) \approx f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2}(x-1)^2$

$f(x) \approx -1 + 0(x-1) + \frac{-1}{2}(x-1)^2$

$f(x) \approx -1 - \frac{1}{2}(x-1)^2$

3. 最終的な答え

$f(x) \approx -1 - \frac{1}{2}(x-1)^2$