与えられた数列の和の極限を求める問題です。具体的には、次の極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{3k^2}{n^3} - \frac{4k}{n^2} + \frac{5}{n}\right)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和の極限を求める問題です。具体的には、次の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{3k^2}{n^3} - \frac{4k}{n^2} + \frac{5}{n}\right)$

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を分解して、それぞれの和を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2}{n^3} - \sum_{k=1}^{n} \frac{4k}{n^2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{5}{n}\right)$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ の公式を利用します。

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 - \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k + \frac{5}{n} \sum_{k=1}^{n} 1\right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{4}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{5}{n} \cdot n\right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{6} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{n^3} - \frac{4}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{n^2} + 5\right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{n^3} - 2 \cdot \frac{n^2 + n}{n^2} + 5\right)$

$= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} \cdot \left(2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right) - 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) + 5\right)$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$、$\frac{1}{n^2} \to 0$ となるので、

$= \frac{1}{2} \cdot (2 + 0 + 0) - 2 \cdot (1 + 0) + 5$

$= 1 - 2 + 5$

$= 4$

3. 最終的な答え

4