次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

与えられた極限を $L$ と置きます。

$L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$

両辺の自然対数を取ります。

$\ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right)}{x}$

分子を微分すると

$\frac{d}{dx} \ln \left( \frac{2^x + 8^x}{2} \right) = \frac{1}{\frac{2^x + 8^x}{2}} \cdot \frac{2^x \ln 2 + 8^x \ln 8}{2} = \frac{2^x \ln 2 + 8^x \ln 8}{2^x + 8^x}$

分母を微分すると

$\frac{d}{dx} x = 1$

ロピタルの定理より

$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{2^x \ln 2 + 8^x \ln 8}{2^x + 8^x} = \frac{2^0 \ln 2 + 8^0 \ln 8}{2^0 + 8^0} = \frac{\ln 2 + \ln 8}{1 + 1} = \frac{\ln 2 + \ln 2^3}{2} = \frac{\ln 2 + 3 \ln 2}{2} = \frac{4 \ln 2}{2} = 2 \ln 2 = \ln 2^2 = \ln 4$

$\ln L = \ln 4$ より

$L = 4$

3. 最終的な答え

4