関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$ の極値を求め、グラフの概形を描く。

## (1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$ の極値を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $y'$ を求める。

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求める。これらは極値の候補となる。

(3) 2階導関数 $y''$ を求める。

(4) $y' = 0$ となる $x$ の値について、$y''$ の符号を調べる。

- $y'' > 0$ ならば、その点で極小。

- $y'' < 0$ ならば、その点で極大。

- $y'' = 0$ ならば、さらに検討が必要。

(5) 極値を与える $x$ の値を元の関数 $y$ に代入し、極値を求める。

(6) グラフの概形を描く。

$y' = 3x^2 - 12x + 9$

$y' = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 1, 3$

$y'' = 6x - 12$

$x = 1$ のとき、$y'' = 6(1) - 12 = -6 < 0$ より、極大。

$x = 3$ のとき、$y'' = 6(3) - 12 = 6 > 0$ より、極小。

$x = 1$ のとき、$y = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 3 = 1 - 6 + 9 - 3 = 1$ より、極大値は1。

$x = 3$ のとき、$y = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 3 = 27 - 54 + 27 - 3 = -3$ より、極小値は-3。

3. 最終的な答え

極大値：$x = 1$ で $y = 1$

極小値：$x = 3$ で $y = -3$

## (2) $y = x^4 - 2x^3$

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 - 2x^3$ の極値を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $y'$ を求める。

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求める。これらは極値の候補となる。

(3) 2階導関数 $y''$ を求める。

(4) $y' = 0$ となる $x$ の値について、$y''$ の符号を調べる。

- $y'' > 0$ ならば、その点で極小。

- $y'' < 0$ ならば、その点で極大。

- $y'' = 0$ ならば、さらに検討が必要。

(5) 極値を与える $x$ の値を元の関数 $y$ に代入し、極値を求める。

(6) グラフの概形を描く。

$y' = 4x^3 - 6x^2$

$y' = 2x^2(2x - 3)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, \frac{3}{2}$

$y'' = 12x^2 - 12x$

$x = 0$ のとき、$y'' = 12(0)^2 - 12(0) = 0$ なので、この点での極値の判定は保留。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y'' = 12(\frac{3}{2})^2 - 12(\frac{3}{2}) = 12(\frac{9}{4}) - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$ より、極小。

$x = 0$ の場合、$x$ が 0 より少し小さい時 $y' < 0$ で、$x$ が 0 より少し大きいときも $y' < 0$なので、$x=0$の近くで単調減少。したがって、$x=0$では極値をとらない。

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = (\frac{3}{2})^4 - 2(\frac{3}{2})^3 = \frac{81}{16} - 2(\frac{27}{8}) = \frac{81}{16} - \frac{108}{16} = -\frac{27}{16}$ より、極小値は $-\frac{27}{16}$。

3. 最終的な答え

極小値：$x = \frac{3}{2}$ で $y = -\frac{27}{16}$

極大値：なし

## (3) $y = x^4 - 4x^3 + 4x^2$

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 - 4x^3 + 4x^2$ の極値を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $y'$ を求める。

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求める。これらは極値の候補となる。

(3) 2階導関数 $y''$ を求める。

(4) $y' = 0$ となる $x$ の値について、$y''$ の符号を調べる。

- $y'' > 0$ ならば、その点で極小。

- $y'' < 0$ ならば、その点で極大。

- $y'' = 0$ ならば、さらに検討が必要。

(5) 極値を与える $x$ の値を元の関数 $y$ に代入し、極値を求める。

(6) グラフの概形を描く。

$y' = 4x^3 - 12x^2 + 8x$

$y' = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, 1, 2$

$y'' = 12x^2 - 24x + 8$

$x = 0$ のとき、$y'' = 12(0)^2 - 24(0) + 8 = 8 > 0$ より、極小。

$x = 1$ のとき、$y'' = 12(1)^2 - 24(1) + 8 = 12 - 24 + 8 = -4 < 0$ より、極大。

$x = 2$ のとき、$y'' = 12(2)^2 - 24(2) + 8 = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$ より、極小。

$x = 0$ のとき、$y = (0)^4 - 4(0)^3 + 4(0)^2 = 0$ より、極小値は0。

$x = 1$ のとき、$y = (1)^4 - 4(1)^3 + 4(1)^2 = 1 - 4 + 4 = 1$ より、極大値は1。

$x = 2$ のとき、$y = (2)^4 - 4(2)^3 + 4(2)^2 = 16 - 32 + 16 = 0$ より、極小値は0。

3. 最終的な答え

極小値：$x = 0$ で $y = 0$

極大値：$x = 1$ で $y = 1$

極小値：$x = 2$ で $y = 0$