定積分 $\int_a^a x \sqrt{a^2 - x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_a^a x \sqrt{a^2 - x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

被積分関数は $x \sqrt{a^2 - x^2}$ です。

$u = a^2 - x^2$ と置換すると、$du = -2x dx$ となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2} du$ です。

積分は次のようになります。

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\int x \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du

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-\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

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$u = a^2 - x^2$ を代入して、不定積分は

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-\frac{1}{3} (a^2 - x^2)^{\frac{3}{2}} + C

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定積分を計算します。

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\int_a^a x \sqrt{a^2 - x^2} dx = \left[-\frac{1}{3} (a^2 - x^2)^{\frac{3}{2}}\right]_a^a

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= -\frac{1}{3} (a^2 - a^2)^{\frac{3}{2}} - \left(-\frac{1}{3} (a^2 - a^2)^{\frac{3}{2}}\right) = -\frac{1}{3} (0)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} (0)^{\frac{3}{2}} = 0

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3. 最終的な答え

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