問題は、数列の和の極限を求める問題です。具体的には、次の極限値を計算する必要があります。 $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left\{ 3 \left( \frac{k}{n} \right)^2 - 4 \left( \frac{k}{n} \right) + 5 \right\} \frac{1}{n} $$

1. 問題の内容

問題は、数列の和の極限を求める問題です。具体的には、次の極限値を計算する必要があります。

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\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left\{ 3 \left( \frac{k}{n} \right)^2 - 4 \left( \frac{k}{n} \right) + 5 \right\} \frac{1}{n}

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2. 解き方の手順

この極限は、定積分の定義を用いて計算できます。具体的には、リーマン和の極限が定積分になることを利用します。

与えられた式は、関数 $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ の区間 $[0, 1]$ における定積分のリーマン和に対応しています。したがって、次の定積分を計算することで極限値を求めることができます。

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\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left\{ 3 \left( \frac{k}{n} \right)^2 - 4 \left( \frac{k}{n} \right) + 5 \right\} \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} (3x^2 - 4x + 5) \, dx

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積分を計算します。

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\int_{0}^{1} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = \left[ x^3 - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{1}

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積分の上端と下端の値を代入します。

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\left[ (1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) \right] - \left[ (0)^3 - 2(0)^2 + 5(0) \right] = 1 - 2 + 5 - 0 = 4

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3. 最終的な答え

したがって、極限値は4です。

答え: 4