曲線 $y = x^2$ と $x$ 軸、直線 $x = 0$、直線 $x = 1$ で囲まれた部分の面積を、リーマン和を用いて求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$ と $x$ 軸、直線 $x = 0$、直線 $x = 1$ で囲まれた部分の面積を、リーマン和を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

リーマン和を用いて面積を求める。区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、各区間の幅を $\Delta x = \frac{1}{n}$ とする。各区間の右端を $x_i = i \Delta x = \frac{i}{n}$ ($i = 1, 2, ..., n$) とし、各区間における長方形の高さを $f(x_i) = (\frac{i}{n})^2$ とする。

リーマン和 $S_n$ は、各長方形の面積の和で表されるので、

$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (\frac{i}{n})^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2$

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ であるから、

$S_n = \frac{1}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2}$

面積 $S$ は、リーマン和の極限として求められるので、

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n + 1}{6n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

面積は $\frac{1}{3}$ である。