$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ のとき、 (1) $t = \sin\theta - \cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 関数 $y = \cos\theta - \sin2\theta - \sin\theta + 1$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta \le \pi$ のとき、

(1) $t = \sin\theta - \cos\theta$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 関数 $y = \cos\theta - \sin2\theta - \sin\theta + 1$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \sin\theta - \cos\theta$ を合成する。

$t = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、 $-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le 1$

よって、$-\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2)

$y = \cos\theta - \sin2\theta - \sin\theta + 1$ を $t$ で表す。

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

$t = \sin\theta - \cos\theta$ より、$t^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - t^2$

$\sin2\theta = 1 - t^2$

$y = \cos\theta - (1 - t^2) - \sin\theta + 1 = -(\sin\theta - \cos\theta) + t^2 = -t + t^2$

$y = t^2 - t = (t - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(1)より、$-1 \le t \le \sqrt{2}$

軸は $t = \frac{1}{2}$ であり、範囲内にある。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

$t = -1$ のとき、$y = (-1 - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = (\sqrt{2} - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = 2 - \sqrt{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586 < 2$

最小値は $t = \frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{1}{4}$

最大値は $t = -1$ のとき $y = 2$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(2) 最大値 $2$, 最小値 $-\frac{1}{4}$