次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1}$

2. 解き方の手順

$x \to 4$のとき、分子は$x-4 \to 0$、分母は$\sqrt{x-3}-1 \to \sqrt{4-3}-1 = \sqrt{1}-1 = 1-1 = 0$となるため、不定形$\frac{0}{0}$の極限です。

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{x-3} + 1$をかけます。

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x-3} - 1} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{(\sqrt{x-3} - 1)(\sqrt{x-3} + 1)}$

分母を計算します。

$(\sqrt{x-3} - 1)(\sqrt{x-3} + 1) = (x-3) - 1^2 = x-3-1 = x-4$

したがって、

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{x-4}$

$x \neq 4$のとき、$x-4 \neq 0$なので、分子と分母の$x-4$を約分できます。

$\lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x-3} + 1)}{x-4} = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 1)$

ここで、$x \to 4$の極限をとると、

$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 1) = \sqrt{4-3} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

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