$x > 0$ を定義域とする関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = \int_{1}^{e} \log(xt) f(t) dt + x$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\int_{1}^{e} \log x dx$ を求めよ。 (2) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を求めよ。 (3) $\int_{1}^{e} x \log x dx$ を求めよ。 (4) $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ を定義域とする関数 $f(x)$ が等式 $f(x) = \int_{1}^{e} \log(xt) f(t) dt + x$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $\int_{1}^{e} \log x dx$ を求めよ。

(2) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を求めよ。

(3) $\int_{1}^{e} x \log x dx$ を求めよ。

(4) $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{e} \log x dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、 $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int_{1}^{e} \log x dx = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} dx = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$

(2) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。

$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = [x(\log x)^2]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \log x dx$

(1)より、$\int_{1}^{e} \log x dx = 1$ なので、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2]_{1}^{e} - 2(1) = (e(\log e)^2 - 1(\log 1)^2) - 2 = (e(1)^2 - 1(0)^2) - 2 = e - 2$

(3) $\int_{1}^{e} x \log x dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int_{1}^{e} x \log x dx = [\frac{x^2}{2} \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{x^2}{2} \log x]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x dx = [\frac{x^2}{2} \log x]_{1}^{e} - \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_{1}^{e} = (\frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1) - \frac{1}{2} (\frac{e^2}{2} - \frac{1^2}{2}) = \frac{e^2}{2} - 0 - \frac{1}{2} (\frac{e^2 - 1}{2}) = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{2e^2 - e^2 + 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$

(4) $f(x)$ の計算

$f(x) = \int_{1}^{e} \log(xt) f(t) dt + x = \int_{1}^{e} (\log x + \log t) f(t) dt + x = \log x \int_{1}^{e} f(t) dt + \int_{1}^{e} \log t f(t) dt + x$

$A = \int_{1}^{e} f(t) dt$, $B = \int_{1}^{e} \log t f(t) dt$ とおくと、$f(x) = A \log x + B + x$

これを元の式に代入します。

$A = \int_{1}^{e} (A \log t + B + t) dt = A \int_{1}^{e} \log t dt + B \int_{1}^{e} dt + \int_{1}^{e} t dt$

(1)より $\int_{1}^{e} \log t dt = 1$ なので、$A = A(1) + B(e-1) + [\frac{t^2}{2}]_{1}^{e} = A + B(e-1) + \frac{e^2 - 1}{2}$

$0 = B(e-1) + \frac{e^2 - 1}{2}$

$B = -\frac{e^2 - 1}{2(e-1)} = -\frac{e+1}{2}$

$B = \int_{1}^{e} \log t (A \log t + B + t) dt = A \int_{1}^{e} (\log t)^2 dt + B \int_{1}^{e} \log t dt + \int_{1}^{e} t \log t dt$

(2)より $\int_{1}^{e} (\log t)^2 dt = e-2$, (1)より $\int_{1}^{e} \log t dt = 1$, (3)より $\int_{1}^{e} t \log t dt = \frac{e^2 + 1}{4}$

$B = A(e-2) + B(1) + \frac{e^2 + 1}{4}$

$0 = A(e-2) + \frac{e^2 + 1}{4}$

$A = - \frac{e^2 + 1}{4(e-2)}$

$f(x) = A \log x + B + x = -\frac{e^2+1}{4(e-2)} \log x - \frac{e+1}{2} + x$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $e-2$

(3) $\frac{e^2+1}{4}$

(4) $f(x) = -\frac{e^2+1}{4(e-2)} \log x - \frac{e+1}{2} + x$