$a, b$ が実数全体を動くとき、定積分 $\int_0^{\pi} (x - a - b\cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める。

## 問題125

1. 問題の内容

$a, b$ が実数全体を動くとき、定積分 $\int_0^{\pi} (x - a - b\cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

積分を計算し、平方完成を用いて最小値を求める。

まず、積分を展開する。

$$\int_0^{\pi} (x - a - b\cos x)^2 dx = \int_0^{\pi} (x^2 + a^2 + b^2 \cos^2 x - 2ax - 2bx\cos x + 2ab\cos x) dx$$

次に、各項を積分する。

$\int_0^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^3}{3}$

$\int_0^{\pi} a^2 dx = a^2\pi$

$\int_0^{\pi} b^2 \cos^2 x dx = b^2 \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = b^2 \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{b^2\pi}{2}$

$\int_0^{\pi} 2ax dx = 2a\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\pi} = a\pi^2$

$\int_0^{\pi} 2bx\cos x dx = 2b [x\sin x + \cos x]_0^{\pi} = 2b(-1 - 1) = -4b$

$\int_0^{\pi} 2ab\cos x dx = 2ab [\sin x]_0^{\pi} = 0$

したがって、積分は

$$I = \frac{\pi^3}{3} + a^2\pi + \frac{b^2\pi}{2} - a\pi^2 + 4b$$

これを $a$ と $b$ について平方完成する。

$$I = \pi \left(a^2 - a\pi\right) + \frac{\pi}{2} b^2 + 4b + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left(a - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^3}{4} + \frac{\pi}{2} \left(b^2 + \frac{8}{\pi}b\right) + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left(a - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{\pi^3}{4} + \frac{\pi}{2} \left(b + \frac{4}{\pi}\right)^2 - \frac{\pi}{2} \cdot \frac{16}{\pi^2} + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left(a - \frac{\pi}{2}\right)^2 + \frac{\pi}{2} \left(b + \frac{4}{\pi}\right)^2 + \frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$$

$a = \frac{\pi}{2}$ および $b = -\frac{4}{\pi}$ のとき、最小値をとる。

最小値は $\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$

3. 最終的な答え

最小値：$\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$

$a = \frac{\pi}{2}, b = -\frac{4}{\pi}$