周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数 $f(x)$ は、区間 $0 \le x \le \pi$ で $f(x) = (\pi - x)^2$、区間 $-\pi \le x < 0$ で $f(x) = 0$ と定義されています。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数 $f(x)$ は、区間 $0 \le x \le \pi$ で $f(x) = (\pi - x)^2$、区間 $-\pi \le x < 0$ で $f(x) = 0$ と定義されています。

2. 解き方の手順

周期 $2\pi$ の関数のフーリエ級数は一般に、以下のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下の式で計算できます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

今回の問題では、関数 $f(x)$ が区間によって定義されているため、積分範囲を分けて計算します。

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 0 dx + \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 dx \right)$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - 2\pi x + x^2) dx = \frac{1}{\pi} \left[ \pi^2 x - \pi x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi}$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \pi^3 - \pi^3 + \frac{\pi^3}{3} \right) = \frac{\pi^2}{3}$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \cos(nx) dx$

部分積分を2回行います。まず、$u = (\pi - x)^2$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = -2(\pi - x) dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$ となります。

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{(\pi - x)^2}{n} \sin(nx) \right]_0^{\pi} + \frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) dx$

$a_n = 0 + \frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) dx$

再び部分積分を行います。$u = \pi - x$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = -dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$ となります。

$a_n = \frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{(\pi - x)}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} - \frac{2}{n^2 \pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx$

$a_n = \frac{2}{n\pi} \left( \frac{\pi}{n} \cos(0) \right) - \frac{2}{n^2 \pi} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_0^{\pi}$

$a_n = \frac{2}{n^2} - 0 = \frac{2}{n^2}$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \sin(nx) dx$

部分積分を2回行います。まず、$u = (\pi - x)^2$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = -2(\pi - x) dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$ となります。

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{(\pi - x)^2}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi} - \frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{n} \cos(0) \right) - \frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) dx = \frac{\pi}{n} - \frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) dx$

再び部分積分を行います。$u = \pi - x$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = -dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$ となります。

$b_n = \frac{\pi}{n} - \frac{2}{n\pi} \left[ \frac{(\pi - x)}{n} \sin(nx) \right]_0^{\pi} - \frac{2}{n\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{n} \sin(nx) dx$

$b_n = \frac{\pi}{n} - 0 + \frac{2}{n^2 \pi} \left[ \frac{1}{n} \cos(nx) \right]_0^{\pi}$

$b_n = \frac{\pi}{n} + \frac{2}{n^3 \pi} (\cos(n\pi) - 1) = \frac{\pi}{n} + \frac{2}{n^3 \pi} ((-1)^n - 1)$

よって、$b_n = \frac{\pi}{n} + \frac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^3}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{n^2} \cos(nx) + \left( \frac{\pi}{n} + \frac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^3} \right) \sin(nx) \right)$