周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = (\pi - x)^2$ for $0 \le x \le \pi$ $f(x) = 0$ for $-\pi \le x < 0$ この関数をフーリエ級数展開してください。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = (\pi - x)^2$ for $0 \le x \le \pi$

$f(x) = 0$ for $-\pi \le x < 0$

この関数をフーリエ級数展開してください。

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は、以下の式で与えられます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下の式で計算できます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

関数 $f(x)$ の定義を利用して、各係数を計算します。

まず、$a_0$を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} 0 dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 dx$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - 2\pi x + x^2) dx = \frac{1}{\pi} [\pi^2 x - \pi x^2 + \frac{1}{3} x^3]_0^\pi$

$a_0 = \frac{1}{\pi} (\pi^3 - \pi^3 + \frac{1}{3} \pi^3) = \frac{\pi^2}{3}$

次に、$a_n$を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \cos(nx) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - 2\pi x + x^2) \cos(nx) dx$

部分積分を繰り返して計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{(\pi-x)^2}{n} \sin(nx) - \frac{2(\pi-x)}{n^2} \cos(nx) - \frac{2}{n^3} \sin(nx) \right]_0^{\pi}$

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0 - \frac{-2\pi}{n^2} \cos(n\pi) - 0 - (0 - \frac{2\pi}{n^2} - 0) \right]$

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{2\pi}{n^2} \cos(n\pi) + \frac{2\pi}{n^2} \right] = \frac{2}{n^2} (\cos(n\pi) + 1)$

$a_n = \frac{2}{n^2} ((-1)^n + 1)$

$n$が奇数のとき、$a_n = 0$

$n$が偶数のとき、$a_n = \frac{4}{n^2}$

最後に、$b_n$を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \sin(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{(\pi-x)^2}{n} \cos(nx) - \frac{2(\pi-x)}{n^2} \sin(nx) + \frac{2}{n^3} \cos(nx) \right]_0^{\pi}$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ -0 - 0 + \frac{2}{n^3} \cos(n\pi) - (-\frac{\pi^2}{n} - 0 + \frac{2}{n^3}) \right]$

$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{2}{n^3} (-1)^n + \frac{\pi^2}{n} - \frac{2}{n^3} \right] = \frac{2}{n^3 \pi} ((-1)^n - 1) + \frac{\pi}{n}$

$b_n = \frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1)$

$n$が偶数のとき、$b_n = \frac{\pi}{n}$

$n$が奇数のとき、$b_n = \frac{\pi}{n} - \frac{4}{\pi n^3}$

フーリエ級数展開は以下のようになります。

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{(2k)^2} \cos(2kx) + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1)\right) \sin(nx)$

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \cos(2kx) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\pi}{2k} \sin(2kx) + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\pi}{2k+1} - \frac{4}{\pi (2k+1)^3} \right) \sin((2k+1)x)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \cos(2kx) + \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\pi}{n} + \frac{2}{\pi n^3} ((-1)^n - 1)) \sin(nx)$

あるいは、

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \cos(2kx) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\pi}{2k} \sin(2kx) + \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\pi}{2k+1} - \frac{4}{\pi (2k+1)^3} \right) \sin((2k+1)x)$