与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた恒等式を $S$ の各項に適用します。

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

$\frac{1}{2}$ でくくると、

$S = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

括弧の中を見ると、多くの項が打ち消し合うことがわかります。これは、望遠鏡和 (telescoping sum) と呼ばれるものです。具体的には、 $-\frac{1}{3}$ と $\frac{1}{3}$、$-\frac{1}{5}$ と $\frac{1}{5}$ などが打ち消し合います。最終的に残るのは、最初の項の $\frac{1}{1}$ と、最後の項の $-\frac{1}{2n+1}$ だけです。

$S = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1}{2n+1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$