周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。 関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} (\pi - x)^2, & (0 \le x \le \pi) \\ 0, & (-\pi \le x < 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。

関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} (\pi - x)^2, & (0 \le x \le \pi) \\ 0, & (-\pi \le x < 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開は、次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} 0 dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 dx$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - 2\pi x + x^2) dx = \frac{1}{\pi} \left[ \pi^2 x - \pi x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi}$

$a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \pi^3 - \pi^3 + \frac{\pi^3}{3} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \cos(nx) dx$

$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \cos(nx) dx$ を部分積分で計算します。

$u = (\pi - x)^2$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = -2(\pi - x) dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$

$I = \left[ (\pi - x)^2 \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{n} \sin(nx) (-2(\pi - x)) dx$

$I = 0 + \frac{2}{n} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) dx$

$u = \pi - x$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = -dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$

$I = \frac{2}{n} \left( \left[ (\pi - x) \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{1}{n} \cos(nx) (-dx) \right)$

$I = \frac{2}{n} \left( 0 - \left( -\frac{\pi}{n} \cos(0) \right) - \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx \right)$

$I = \frac{2}{n} \left( \frac{\pi}{n} - \frac{1}{n} \left[ \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{0}^{\pi} \right) = \frac{2}{n} \left( \frac{\pi}{n} - 0 \right) = \frac{2\pi}{n^2}$

したがって、$a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{n^2} = \frac{2}{n^2}$

次に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \sin(nx) dx$

$J = \int_{0}^{\pi} (\pi - x)^2 \sin(nx) dx$ を部分積分で計算します。

$u = (\pi - x)^2$, $dv = \sin(nx) dx$ とすると、$du = -2(\pi - x) dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$

$J = \left[ (\pi - x)^2 \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{1}{n} \cos(nx) (-2(\pi - x)) dx$

$J = 0 - \left( \pi^2 \left( -\frac{1}{n} \cos(0) \right) \right) - \frac{2}{n} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) dx$

$J = \frac{\pi^2}{n} - \frac{2}{n} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \cos(nx) dx$

$u = \pi - x$, $dv = \cos(nx) dx$ とすると、$du = -dx$, $v = \frac{1}{n} \sin(nx)$

$J = \frac{\pi^2}{n} - \frac{2}{n} \left( \left[ (\pi - x) \frac{1}{n} \sin(nx) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{n} \sin(nx) (-dx) \right)$

$J = \frac{\pi^2}{n} - \frac{2}{n} \left( 0 - \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) dx \right)$

$J = \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^2} \left[ -\frac{1}{n} \cos(nx) \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} \left( -\cos(n\pi) + \cos(0) \right)$

$J = \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} (1 - (-1)^n)$

したがって、$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} (1 - (-1)^n) \right) = \frac{\pi}{n} + \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n^3}$

フーリエ級数展開は、

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{n^2} \cos(nx) + \left( \frac{\pi}{n} + \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n^3} \right) \sin(nx) \right)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{n^2} \cos(nx) + \left( \frac{\pi}{n} + \frac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n^3} \right) \sin(nx) \right)$