関数 $f(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\log t} dt$ を微分せよ。ただし、$x > 0$とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\log t} dt$ を微分せよ。ただし、$x > 0$とする。

2. 解き方の手順

微積分学の基本定理と合成関数の微分法を用いる。

まず、関数 $F(x)$ を $F(x) = \int_a^x \frac{1}{\log t} dt$ と定義する。ここで、$a$ は任意の定数。

すると、微積分学の基本定理より、

$F'(x) = \frac{1}{\log x}$

と表せる。

与えられた関数 $f(x)$ は、以下のように書き換えることができる。

$f(x) = \int_{x^2}^{x^3} \frac{1}{\log t} dt = \int_a^{x^3} \frac{1}{\log t} dt - \int_a^{x^2} \frac{1}{\log t} dt = F(x^3) - F(x^2)$

したがって、$f(x)$ の導関数は、

$f'(x) = \frac{d}{dx} (F(x^3) - F(x^2))$

$= \frac{d}{dx} F(x^3) - \frac{d}{dx} F(x^2)$

ここで、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx} F(x^3) = F'(x^3) \cdot \frac{d}{dx} (x^3) = \frac{1}{\log (x^3)} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\log (x^3)}$

$\frac{d}{dx} F(x^2) = F'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \frac{1}{\log (x^2)} \cdot 2x = \frac{2x}{\log (x^2)}$

したがって、

$f'(x) = \frac{3x^2}{\log (x^3)} - \frac{2x}{\log (x^2)} = \frac{3x^2}{3\log x} - \frac{2x}{2\log x} = \frac{x^2}{\log x} - \frac{x}{\log x} = \frac{x^2-x}{\log x} = \frac{x(x-1)}{\log x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{x(x-1)}{\log x}$