曲線 $y = x^2 - 4x + 7$ と $x$ 軸、直線 $x = 1$、 $x = 3$ で囲まれた部分の面積をリーマン和によって求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 4x + 7$ と $x$ 軸、直線 $x = 1$、 $x = 3$ で囲まれた部分の面積をリーマン和によって求める問題です。

2. 解き方の手順

リーマン和を使って面積を求めるには、まず区間 $[1, 3]$ を $n$ 等分し、各小区間の幅 $\Delta x$ を計算します。

$\Delta x = \frac{3 - 1}{n} = \frac{2}{n}$

次に、各小区間の代表点 $x_i$ を決めます。ここでは右端を代表点とすると、

$x_i = 1 + i \Delta x = 1 + \frac{2i}{n}$

次に、各代表点での関数の値を計算します。

$f(x_i) = f\left(1 + \frac{2i}{n}\right) = \left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2 - 4\left(1 + \frac{2i}{n}\right) + 7$

$= 1 + \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2} - 4 - \frac{8i}{n} + 7 = 4 - \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2}$

リーマン和 $S_n$ は次のようになります。

$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(4 - \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2}\right) \frac{2}{n} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(4 - \frac{4i}{n} + \frac{4i^2}{n^2}\right)$

$= \frac{2}{n} \left(4 \sum_{i=1}^{n} 1 - \frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} i + \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i^2\right)$

ここで、以下の公式を使います。

$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$

$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S_n = \frac{2}{n} \left(4n - \frac{4}{n} \frac{n(n+1)}{2} + \frac{4}{n^2} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)$

$= 8 - \frac{4(n+1)}{n} + \frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}$

求める面積は $n \to \infty$ のときの $S_n$ の極限です。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(8 - \frac{4(n+1)}{n} + \frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}\right)$

$= 8 - 4 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} + \frac{4}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}$

$= 8 - 4(1) + \frac{4}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n + 1}{n^2}$

$= 8 - 4 + \frac{4}{3}(2) = 4 + \frac{8}{3} = \frac{12+8}{3} = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{3}$